Método de la bisección

El método de la bisección se basa en el teorema del valor intermedio, que en una de sus versiones establece:

Partiendo del supuesto que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, es decir f(a)·f(b) < 0, entonces por el teorema del valor intermedio se conoce que existe al menos una solución de la ecuación f(x) = 0 y es posible aplicar el siguiente procedimiento, denominado método de la bisección, para determinar dicha solución.

1. Definir a0 = a y b0 = b.

2. Calcular el punto medio del intervalo (por esto se llama método de bisección) [a0, b0], c0.

3. a. Si f(c0) = 0 , entonces c0 es un cero de la función y por lo tanto una solución del problema.

b. Si f(a0f(c0) > 0 quiere decir que existe un cero de la función en el intervalo (c0, b0), entonces seleccionar este intervalo y definir a1 = c y b1 = b0.

c. Si f(a0f(c0) < 0 quiere decir que existe un cero de la función en el intervalo (a0, c0 ), entonces seleccionar este intervalo y definir a1 = a y b1 = b0.

4. Si f(c0) =/ 0, repetir los pasos 2, 3 y 4 para el nuevo intervalo [a1, b1]

Si se cumplen las hipótesis del teorema de valor intermedio, entonces el método de bisección converge a un cero de f(x) en el intervalo [a, b].

Se puede observar que en cada iteracción la medida del intervalo se divide a la mitad. Así, en la primera iteración la medida del intervalo [a1, b1] es la mitad del intevalo inicial; en la segunda iteración la medida del intervalo [a2, b2] es la mitad de la medida del intervalo [a1, b1] y así sucesivamente n veces.

Dado que en cada intervalo [an, bn] existe un punto c tal que f(c) = 0, entonces, para cn se tiene: 

Esto nos permite determinar el número de iteraciones necesarias para obtener una aproximación de un cero de la función con una precisión deseada.

El método de la bisección en Excel

El método de la bisección en Python

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